EsaWH BLOG: Matematika

Tampilkan postingan dengan label Matematika. Tampilkan semua postingan

28 November 2013

MATERI AJAR MATEMATIKA XII IPA BAB INTEGRAL

Standar Kompetensi1.Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar
1.1.Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.
1.2.Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana.
1.3.Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar.

Indikator

Menentukan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri.
Menjelaskan integral tertentu sebagai luas daerah di bidang datar.
Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat(aturan)integral.
Menentukan integral dengan cara substitusi aljabar.
Menentukan integral dengan cara substitusi trigonometri.
Menentukan integral dengan rumus integral parsial.
Menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.
Menggunakan integral tertentu untuk menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.
Menggunakan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat.

A.Tujuan Pembelajaran

Peserta didik dapat menentukan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri.
Peserta didik dapat menjelaskan integral tertentu sebagai luas daerah di bidang datar.
Peserta didik dapat menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat (aturan) integral.
Peserta didik dapat menentukan integral dengan cara substitusi aljabar.
Peserta didik dapat menentukan integral dengan cara substitusi trigonometri.
Peserta didik dapat menentukan integral dengan rumus integral parsial.
Peserta didik dapat menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.
Peserta didik dapat menggunakan integral tertentu untuk menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.
Peserta didik dapat menggunakan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat.

Baca selengkapnya »

04 Mei 2013

Rumus Lengkap Trigonometri

A. Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih Dua Sudut, dan Sudut Ganda
1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Sebelum membahas rumus trigonometri cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut, perlu kamu ingat kembali dalam segitiga siku-siku ABC berlaku:

Baca selengkapnya »

16 Maret 2013

Limit Matematika

Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan.Dalam pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap kalkulus, dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah.

Baca selengkapnya »

18 Februari 2013

Nicolaus Copernicus

Hari ini, tepatnya 19 Februari adalah tanggal kelahiran seorang tokoh dunia yang memberikan cikal bakal dalam pengembangan ilmu modern. ya, beliau ialah Nicolaus Copernicus. siapakah beliau..?

Nicolaus Copernicus
Portrait, 1580, Toruń Old Town City Hall
Born	19 February 1473 Toruń (Thorn), Royal Prussia,Kingdom of Poland
Died	24 May 1543 (aged 70) Frombork (Frauenburg), Prince-Bishopric of Warmia, Royal Prussia, Kingdom of Poland
Fields	Mathematics, astronomy, canon law, medicine, economics
Alma mater	Kraków University Bologna University University of Padua University of Ferrara
Known for	Heliocentrism Copernicus' Law
Signature

Nicolaus Copernicus adalah seseorang ahli matematika dan astronomi yang pada masanya mengeluarkan gagasan baru bahwa pusat dari alam semesta ini bukanlah bumi, melainkan matahari. penasaran..? langsung saja lihat.. ^_^

Baca selengkapnya »

23 Oktober 2012

Cara Menghitung Cepat Akar Kuadrat dan Akar Pangkat Tiga

Mungkin kita sering menemui soal-soal mengenai perpangkatan, khususnya akar kuadrat dan akar pangkat tiga . Untuk angka hingga ratusan kita masih bisa menghitung di luar kepala karena sudah hafal. Tapi? gimana kalau sampai ribuan, puluhan ribu bahkan jutaan..?? inilah penjelasannya... :D

Baca selengkapnya »

27 September 2012

Binonium Newton

Binonium Newton adalah uraian binonium (suku dua) dengan rumus :
(x+y)ⁿ = _nC₀Xⁿ + _nC₁X^n-1y + ....... + _nC_nyⁿ
Rumus ini dapat dibuktikan dengan induksi lengkap.
_nC_o = 1
_nC₁ = n!/1!(n-1)! = n
_nC₂ = n! / 2!(n-2)! = n(n-1)/1.2
_nC_n-1 = _nC1 = n/1 = n
_nC_n = 1

Catatan:

banyaknya suku ruas kanan adalah n + 1

rumus tersebut dapat juga ditulis sebgai berikut :
_n _n
(x+y)ⁿ = å _nC_k x^n-k y^k = å (n! / k! (n-k)!) x^n-k y^k
^k=0 ^k=0

Jika n kecil, koefisien binonium dapat dicari dengan segitiga pascal

Thank's for your NICE attention.. ..Jangan lupa follow and like blog saya..

Combinasi

Kombinasi k unsur dari n unsur adalah pemilihan k unsur dari n unsur itu tanpa memperhatikun urutannya.

_{_n}C_{_k} = n! / k!(n-k)!

Ada 6 kombinasi 2 unsur dari 4 unsur a, b, c, d yaitu ab, ac, ad, bc, bd, cd.
Contoh:
Dalam sebuah kantong terdapat 6 bola merah dan 5 putih.
Tentukan banyak cara untuk mengambil 4 bola dari kantong tersebut sehingga
a. Keempat bola tersebut terdiri dari 2 merah dan 2 putih.
b. Keempat bola tersebut warnanya lama.
Jawab:

Untuk mengambil 2 dari 6 bola merah ada _₆C₂ cara, untuk mengambil 2 dari 5 bola putih ada ₅C₂ cara.

Banyak cara untuk mengambil 4 bola terdiri 2 merah 2 putih adalah: ₆C₂ . ₅C₂ ® = 150 cara.

4 bola warna lama, jadi semua merah atau semua putih.
Untuk mengambil 4 dari 6 bola merah ada _₆C_₄ cara. Untuk mengambil 4 dari 5 bola putih ada ₅C₆ cara. Banyak cara mengambi 14 bola yang warnanya lama: ₆C₄ + ₅C₄ =15 + 5 = 20 cara.

Thank's for your NICE attention.. ..Jangan lupa follow and like blog saya..

Permutasi

Misalkan ada 3 unsur a, b, c. Kita dapat mengurutkan sebagai abc, acb, bac, bca, cab, cba. Tiap urutan disebut permutasi 3 unsur.
Dalam contoh di alas: ada 6 permutasi terdiri 3 unsur diambil ketiga-tiganya. Ditulis ₃P₃ = 6

Secara Umum
Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah :

_{_n}P_{_k}= n! / (n-k) !

Contoh:
Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawab:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
_₇P_₃ = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara

Permutasi Siklis
Dari n obyek dapat disusun melingkar dalam (n-1) ! cara dengan urutan berlainan.
Contoh:
Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
Jawab:
Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

Thank's for your NICE attention.. ..Jangan lupa follow and like blog saya..

Notasi Faktorial

Notasi Faktorial n ! = n(n - 1) (n -2) ..................3.2. 1.

Definisi 0! = 1

PRINSIP DASAR (ATURAN PERKALIAN)
Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n₁ cara yang berlainan dan kejadian yang lain dapat terjadi dalam n₂ cara yang berlainan maka kejadian-kejadian tersebut bersama-lama dapat terjadi n₁.n₂ cara yang berlainan.
Contoh:
Berapakah banyak bilangan-bilangan bulat positif yang ganjil terdiri atas 3 angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6 dan 7.
Jawab:
Sediakan 3 kotak, masing-masing untuk ratusan, puluhan dan satuan.

ratusan

puluhan

satuan

Tiap angka dapat diambil sebagai ratusan. Cara itu menghasilkan 5 kemungkinan.

Karena tidak diharuskan ketiga angka berlainan, maka tiap angka dapat diambil sebagai puluhan. Ada 5 kemungkinan lagi. Satuan hanya dapat dipilih dari 3, 5, 7 sebab harus bilangan ganjil . Ada 3 kemungkinan.

Maka banyak bilangan ada 5 . 5 . 3 = 75 bilangan.

Thank's for your NICE attention.. ..Jangan lupa follow and like blog saya..

17 Mei 2012

Konsep Tinggi untuk Dimensi Tiga

Dalam dimensi 3 sering kali kita kebingungan untuk mencari tinggi. Nah, kali ini E-Blog akan mengatasi semuanya (hehe) yg ada pada video ini.. check this out..!!!

Thank you for your NICE attention.. ..Jangan lupa follow and like blog saya..

Rumus SIN , COS , TAN untuk sudut Ganda

Yaa langsung saja, lihat penjelasan rumusnya..

Thank you for your NICE attention.. ..Jangan lupa follow and like blog saya..

Trigonometri dasar 1

Ok, sahabat E-Blog.. Tonton dengan seksama yaa..

Thank you for your NICE attention.. ..Jangan lupa follow and like blog saya..

Jarak Titik ke Garis

Jarak titik dengan garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut yg tegak lurus terhadap garis tersebut. pada video diatas telah di jelaskan dengan rinci (insyallah). ^_^

Thank you for your NICE attention.. ..Jangan lupa follow and like blog saya..

10 Mei 2012

Melukis Titik Tembus Garis ke Bidang

Silahkan periksa gambar berikut ini.

Jelas bahwa sinar garis tersebut menembus bidang merah. Dan titik tembusnya jelas tampak. Permasalahan tersebut akan menjadi sedikit susah ketika bidangnya berupa objek geometri yang tembus pandang dan garis yang tampak secara fisik.

Pada dasarnya untuk melukis titik tembus pada bidang ada tiga proses:

Tentukan bidang yang memuat garis tembus.
Tentukan garis persekutuan antara bidang yang ditembus dengan bidang yang memuat garis tembus.
Tentukan titik potong garis tembus dan garis persekutuan dua bidang tersebut.
Titik potong itulah yang merupakan titik tembus garis ke bidang. Kita langsung coba di objek ruang.

Permasalahan:
Misalkan terdapat kubus ABCD.EFGH. Tentukan titik tembus BD ke ACGE.

Penyelesaian:

Langkah pertama.
Tentukan bidang yang memuat garis BD. Ada beberapa bidang yang memuat garis BD, antara lain ABCD dan BDHF. Kita pilih BDHF sebagai bidang yang memuat garis BD.

Langkah kedua.
Tentukan garis persekutuan antara dua bidang yang dibentuk. Diperoleh, garis PQ adalah garis persekutuan bidang ACGE dan BDHF. (Mengapa?)

Langkah ketiga.
Tentukan titik potong antara BD dan PQ. Yak jelas bahwa BD dan PQ berpotongan di Q. Jadi titik tembus BD ke ACGE adalah titik Q.

Tulisan lain yang berhubungan :
Titik Tembus Garis ke Bidang
Titik Tembus Garis ke Bidang - Solusi #1

Thank you for your NICE attention.. ..Jangan lupa follow and like blog saya..

20 April 2012

Download Cabri 3D

Cabri 3D merupakan suatu software yang digunakan untuk membuat bangun geometri yang berbasis 3D. Satu-satunya program yang memungkinkan Anda untuk meringankan kesulitan-kesulitan membuat bangun geometri Matematika dan yang juga mengandung manfaat geometri interaktif.

ook, langsung saja dari pada banyak tulisan, hehehe...
Silahkan download DISINI

Thank you for your NICE attention.. ..Jangan lupa follow and like blog saya..

08 April 2012

Mengenal Magic Square

Tentunya, sebagian besar dari pembaca sudah mengenal istilah magic square.

Magic Square (persegi ajaib) adalah suatu persegi dengan ukuran n x n petak di mana setiap baris, kolom dan diagonal memiliki jumlah yang sama.

Ingin mengenal lebih jauh tentang magic square. Silakan lihat post di bawah. :)
=======================================================================

Sejarah *Sangat Singkat* Magic Square:

Persegi ajaib sudah dikenal oleh matematikawan Cina sejak 650 Sebelum Masehi. Ada kemungkinan sudah dikenal oleh matematikawan Arab sejak abad ke-7.

Menurut literatur Cina, terdapat legenda bahwa dahulu kala terdapat bencana banjir. Raja besar Yu (禹) berusaha untuk menyalurkan air ke laut. Pada saat itu, terlihat kura-kura dengan pola aneh pada tempurung. Ini yang menjadi landasan untuk membuat suatu persegi 3x3 di mana setaip baris, kolom dan diagonalnya sama. Pola ini, dengan cara tertentu, juga digunakan oleh orang-orang dalam mengendalikan sungai.

Selanjutnya, magic square terus dipelajari dan dikembangkan di berbagai tempat.

Selengkapnya, silakan baca di http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square.

Beberapa istilah/kasus Magic Square yang menarik untuk diketahui:

Normal Magic Square	adalah persegi yang dibentuk dengan menempatkan angka 1 hingga n². dan tidak ada bilangan yang sama. Contoh: magic square 3x3 yang diisi dengan angka 1 hingga 9. Dalam pembahasan kita, jika dikatakan hanya "magic square", maka artinya kita membicarakan "normal magic square".
Semi Magic Square	Semi Magic Square hanya mengharuskan angka pada baris dan kolom berjumlah sama, namun diagonal tidak perlu sama.
Trivia Magic Square	Jika magic square berbentuk 1x1 atau semua angka pada petak diisi dengan angka yang sama semuanya, maka magic square itu adalah trivial.
Associative Magic Square	adalah normal magic square di mana petak di tengahnya adalah median dari bilangan-bilangan yang diisi. Misalnya, untuk persegi 5x5 bagian tengahnya diisi dengan 13, maka disebut associative magic square.
Pan Magic Square	Adalah normal magic square yang lebih ampuh, karena selain semua kolom dan barisnya sama, penjumlahan semua diagonalnya selalu sama. (diagonal ini melewati batas persegi). Contoh: Tidak ada pan magic square yang dapat dibentuk dari 3x3.
Concentric Magic Square	Merupakan normal Magic Square nxn dengan n adalah ganjil dan n≥5 dan setiap persegi di dalamnya juga magic square. Contoh: Perhatikan bahwa persegi 3x3 di dalamnya juga adalah persegi ajaib dengan jumlah 39.
Multiplicative Magic Square	Jika normal magic square menggunakan operasi penjumlahan, maka multiplicative magic square menggunakan operasi perkalian. Perkalian setiap baris, kolom, dan diagonalnya adalah sama. Contoh: ____

Fakta-fakta singkat Magic Square:

1.	Suatu magic square 3x3 yang tidak harus normal (artinya angkanya bebas, tidak perlu urut), maka angka di bagian tengahnya selalu 1/3 dari jumlah total. Bisakah kalian membuktikannya? Sebagai contoh: Perhatikan bahwa 5 adalah 1/3 dari 15 (jumlah total per baris/kolom/diagonal). Hint: Misalkan dari 9 kotak, asumsikan ada kotak yang bernilai a, b, dan c
2.	Suatu normal magic square 3x3 hanya dapat dibentuk dengan 1 cara (tidak termasuk rotasi, refleksi) 4x4 dalam 880 cara. 5x5 dalam 275305224 cara. 6x6 diperkirakan mencapai 1.7745×10¹⁹ cara.

Mengkontruksi Magic Square

Mengkontruksi magic square dapat dilakukan dengan komputer. Ada pula yang dilakukan secara matematis (perhitungan) manual menggunakan konsep modulo.

Di post ini, kita tidak akan menggunakan perhitungan matematis, tapi menggunakan metode-metode yang lebih mudah dipahami dan *klasik*, yaitu Siamese, Conway's LUX, Doubly Even (Lozenge) Method, dan Strachey Method (metode yang paling ribet).

Semua metode itu akan dibahas di bawah...

Siamese Method / de la Loubère Method

Kemungkinan besar, kalian sudah pernah mendengar cara meng"konstruksi" magic square siamese ini. (Dan, ini mungkin sudah sangat basi sekali kalau dijelaskan lagi)..

Lihat ilustrasi di bawah.

Metode di atas disebut juga sebagai metode Siamese. atau juga sering disebut dengan metode de la Loubère (bacanya susah..). Ingat: Metode Siamese hanya berlaku bagi persegi ganjil , misalnya 3x3, 5x5, 7x7.

Langkah-langkah metode Siamese secara general adalah sebagai berikut:
1. Dimulai dari angka 1. Tempatkan di baris teratas, tepat di petak tengah..

2. Kita bergerak ke kanan atas... Jika posisinya sudah berada di paling atas, maka pindah ke paling bawah. Jika posisinya sudah berada di paling kanan, maka pindah ke paling kiri. Kalau sudah ada petak yang terisi, pindah ke petak di bawahnya.. Ulangi langkah ini sampai semua petak terisi.

Perhatikan ilustrasi animasi di atas. Pasti jelas deh. Sebagai latihan, coba kalian buat persegi ajaib untuk 5x5 dengan metode Siamese ini. Yang sudah tahu boleh lanjut, tapi bagi yang pertama kali denger cara ini, kalian wajib dan kudu latihan.. weks. Masak maunya disuapin mlolo. ;p.

Berikut adalah persegi ajaib 5x5 dengan Metode Siamese (silakan dicocokan dengan jawabanmu)

Oit. Bagaimana kalau angka 1-nya ingin diletakkan di tempat yang berbeda? Jawabnya, ya!! Bisa. Tapi, aturannya bisa sedikit berbeda, misalnya jika angka 1 ingin diletakkan di baris kedua bagian tengah, maka jika ada kotak yang sudah ada, dia akan pindah ke 2 kotak di atasnya. (bukan turun ke bawah 1 kotak).. Sulit juga ya dijelaskan di sini, sebaiknya, lihat sumbernya langsung di wikipedia. Di sini, tidak akan dijelaskan secara mendetail mengenai hal itu.

Fakta menarik seputar Siamese Method:
Siamese Method memiliki persamaan yang sangat mirip dengan Pyramid Method.
Berikut adalah gambaran Pyramid Method dalam mengkonstruksi magic square:

Kontruksi 3x3 dengan Pyramid Method

Konstruksi persegi 5x5 dengan pyramid Method

Perhatikan bahwa konstruksi Pyramid dan Siamese sebenarnya serupa. Siamese perlu mengubah *starting point* untuk angka 1 jika hasilnya benar-benar ingin seperti Pyramid Method.

Doubly Even/ Lozenge Method

Metode ini hanya berlaku persegi yang dapat dibegi 4, misalnya 4x4, 8x8 atau 12x12.

Caranya cukup mudah, yaitu hanya menuliskan angka secara berutuan, kemudian beberapa petak direfleksikan terhadap titik pusat.

Sebagai contoh persegi 4x4 dibentuk sbb:

	Tuliskan 1 hingga 16
	Buat tanda silang seperti yang terlihat pada gambar di samping, kemudian refleksikan setiap petak tersebut. Perhatikan bagaimana 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, dan 16 bisa berpindah.

Persegi 8x8 dibentuk sbb:

	Tuliskan 1 hingga 64 dan berurut.
	Buat tanda silang yang terbagi menjadi 4 bagian seperti yang terlihat pada gambar di samping, kemudian refleksikan setiap petak tersebut berdasarkan titik pusat persegi. Perhatikan bagaimana 1, 4, 5, 8, ..., 64 bisa berpindah...

Sekarang, coba lakukan dengan persegi 12x12. Hasilnya sbb:

Salah satu kelemahan metode Lozenge ini adalah kita sulit menentukan pola refleksinya, terutama untuk persegi-persegi besar. Tidak ada aturan khusus yang menentukan polanya. Lebih jauh lagi, kita dapat menentukan polanya lebih dari 1 macam. Ada banyak sekali pola yang dapat dibentuk. Silakan bereksperimen sendiri. :D

Conway LUX Method

Metode ini hanya berlaku bagi persegi (4m+2) misalnya 6, 10, 14, dan seterusnya.
Metode ini menggunakan prinsip Siamese Method yang dimodifikasi..

Mengapa dinamakan LUX. Perhatikan sekumpulan array berikut.

Perhatikan urutannya. Ternyata urutan menulisnya mirip seperti kita menulis huruf L, U, dan X. Jika sudah paham konsep LUX ini, langsung saja kita ke langkah-langkah algoritma LUX method. :)

Langkah-langkahnya:

1.	Bagilah persegi menjadi sekumpulan petak 2x2.
2.	Dari petak-petak itu, berikan tanda sbb: (m+1) baris pertama adalah L. 1 baris berikutnya adalah U. (m-1) baris terakhir adalah X. Kemudian, tukarlah petak U di tengah dengan L di atasnya.
3.	Kerjakan dengan Siamese Method yang general. Angka 1 dimulai dari petak teratas.

Kalau dilihat dari bahasanya, mungkin pada bingung. Oleh karenanya, langsung saja kita ke contoh.

Persegi 10x10. (Artinya m=2, karena 4m + 2 = 10)

1.	Bagilah 10x10 menjadi sekumpulan petak 2x2. m+1 baris pertama adalah L. 1 baris berikutnya adalah U m-1 baris berikutnya adalah X. Tukar U yang di tengah dengan petak di atasnya. Proses ini menghasilkan sbb:
2.	Selanjutnya, gunakan metode Siamese untuk 5x5. Perhatikan aturan LUX di tiap petak. Hasil akhir persegi ajaib dengan metode LUX:

Strachey Method

Ini adalah metode terakhir yang akan kita bahas. Cukup ribet, namun sesungguhnya mudah. Metode ini hanya berlaku bagi persegi 4m + 2 (seperti halnya LUX), misalnya 6x6, 10x10. Metode ini juga menggunakan metode Siamese yang dimodifikasi.

Kita langsung saja gunakan contoh, untuk persegi 10x10. (m=2 karena 4m +2 = 10)

1.	Bagi persegi menjadi 4 bagian ABCD dengan urutan:
2.	Dengan metode Siamese, isilah: 1 s/d 25 di A 26 s/d 50 di B 51 s/d 75 di C . 76 s/d 100 di D Hasil:
3.	Tukar m kolom pertama dari A dengan m kolom pertama dari D. Tukar (m-1) kolom terakhir dari B dengan (m-1) kolom terakhir dari C. Note: m=2 karena 4m +2 = 10 Hasilnya:
4.	Tukar petak barisan tengah paling kiri di A dengan sel yang sesuai di D. Tukar petak yang tepat di tengah-tengah A dengan sel yang sesuai di D. Akan menghasilkan hasil akhir sebagai berikut.

=======================================================================

CLOSING

Dalam mengkonstruksi magic square, kita menggunakan metode yang tergantung dari besaran perseginya:
1. Untuk persegi ganjil (3x3, 5x5, 7x7, ...), gunakan Siamese Method
2. Untuk persegi 4m (4x4, 8x8, 12x12, ...), gunakan Lozenge Method
3. Untuk persegi 4m+2 (6x6, 10x10, 14x14, ...), gunakan LUX atau Strachey Method

Sebenarnya, masih banyak metode lain yang digunakan untuk mengkontruksi magic square, misalnya Medjig Method, Bree/Ollerenshaw Method, dan sebagainya. Bahkan ada cara matematika tersendiri dalam mengkonstruksi magic square. Bisa kalian lihat di sumber-sumber di bawah. Lihat juga buku tentang Magic Square yang sungguh lengkap dan *bikin pusing* karya W.S. Andrews tahun 1917. Bisa kalian download di bawah ini:

Magic Square Book by W.S. Andrews
(24 MB)

Sekian dolo yach. Si pemilik blog mau kabur. :P.
Ada yang ingin ditanyakan, silakan tanya di comment di bawah aja. :)

Sumber:
http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square
http://en.wikipedia.org/wiki/Strachey_method_for_magic_squares
http://en.wikipedia.org/wiki/Siamese_method
http://en.wikipedia.org/wiki/Conway%27s_LUX_method_for_magic_squares
http://www.his.kanazawa-it.ac.jp/~poyo/magic/concentric/concentricMSs.html
http://www.xs4all.nl/~thospel/siamese.html
http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html
http://www.grogono.com/magic/individual.php
Magic Square Book by W.S. Andrews

Thank you for your NICE attention..

Mengisi Magic Square

Jika di post sebelumnya, kita sudah membahas magic square alias bujur sangkar ajaib. Di post ini, akan kita singgung lagi magic square. Pokoke ampe kalian *butek*, tapi jadi *ahli*.. hehehe. Berikut adalah teka-teki yang seringkali diajukan guru SD, atau mungkin guru SMP, namun beberapa orang kuliah seringkali kesulitan dalam menjawabnya..

Total baris/kolom/diagonal bagi bujur sangkar ajaib dibawah ini adalah 20. Dua bilangan sudah diberikan. Cobalah cari bilangan-bilangan lainnya dan isikan ke dalam bujur sangkar ajaib ini.

HINT: lihat Mengenal Magic Square.
=======================================================================

PENYELESAIAN

Magic Square ini dapat diselesaikan dengan SPL (sistem persamaan Linear), namun seperti yang sudah dibuktikan sebelumnya bahwa kotak tengah pada magic square 3x3 selalu 1/3 dari jumlah total, artinya kotak di tengah adalah ¹/₃ * 20 = 6 ²/₃.

Dengan mengetahui kotak di tengah, kita dapat dengan cepat menyelesaikan magic square ini.

Thank you for your NICE attention..

Magic Square yang Konsentrik

Lagi-lagi post mengenai Magic Square. Kali ini, soalnya lebih rumit daripada sebelumnya yang hanya 3x3.

Lihatlah Magic Square di bawah ini.

Seperti yang telah disinggung sebelumnya tentang *concentric*. Magic Square 5x5 di atas memiliki sifat menarik bahwa persegi 3x3 di dalamnya juga merupakan magic square.

Namun, sesungguhnya persegi 5x5 ini bukan satu-satunya magic square yang dapat dibentuk. Bisakah kalian memperoleh susunan magic square 5x5 konsentrik lainnya?

Gagasan Concentric Magic Square ini dapat diperluas. Misalnya, kita memiliki magic square 9x9 yang di dalam dirinya terdapat magic square 7x7 yang di dalam dirinya terdapat magic square 5x5 yang di dalam dirinya lagi terdapat magic square 3x3.

Cobalah sempurnakan Concentric Magic Square di bawah ini. :)

Thank you for your NICE attention..

Dalil Stewart

Wew... Ternyata dalil ini sungguh sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai masalah dalam garis-garis segitiga. Contohnya pada soal berikut:

Contoh Soal:
Jika AB = 10 cm, CB = 12 cm, AC = 6 cm, dan DB = 7 cm, maka berapakah panjang CD?
(jangan dijawab di sini doeloe yach)... ^^

Sebelum mengenal dalil Steward, alangkah baiknya kalau kita mengenal apa itu proyeksi.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Mengenal Proyeksi
Hmm. Perhatikan gambar berikut.

Jika ruas garis AB diproyeksikan ke garis l, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Dari gambar di atas, AA' tegak lurus terhadap garis l dan BB' tegak lurus terhadap garis l. A'B' adalah proyeksi AB pada l.

Sedangkan, apabila ruas garis l diproyeksikan terhadap AB, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Pada gambar di atas, ruas garis yang berwarna merah adalah proyeksi ruas garis l terhadap AB.
Tentunya, dari kedua contoh di atas, kalian sudah tahu istilah proyeksi bukan.? Jadi, proyeksi itu seperti memetakan suatu daerah secara tegak lurus terhadap daerah lainnya. Begitu loh... ^^

Contoh soal 1:
Tentukan proyeksi dari:

a. AB pada BC
b. BC pada AC
c. AB pada AC
d. AC pada BC
e. BC pada AB
f. AC pada AB

Jawab: a. BD; b. CE; c. AE; d. CD; e. BF; f. AF.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Rumus Proyeksi Pada Segitiga Lancip

Perhatikan gambar di samping!
$\triangle$ ABC adalah segitiga lancip.
CF $\perp$ AB (CF=garis tinggi)
AF = p(proyeksi AC pada AB), maka BF = c-p

________

Perhatikan $\triangle$ ACF
t^2=b^2-p^2

Perhatikan $\triangle$ BCF
t^2=a^2-BF^2

__________

Sehingga:

$\usepackage{cancel} b^2-\cancel{p^2}=a^2-c^2+2cp-\cancel{p^2}$

$p=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}$

==>rumus proyeksi AC pada AB
___pada segitiga lancip

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Rumus Proyeksi Pada segitiga Tumpul

Perhatikan gambar di samping!
$\triangle$ ABC adalah segitiga tumpul.
CF $\perp$ AB (CF=garis tinggi)
AF = p (proyeksi AC pada AB).

________

Perhatikan $\triangle$ ACF
t^2=b^2-p^2

Perhatikan $\triangle$ BFB
t^2=a^2-BF^2

__________

Sehingga:

$\usepackage{cancel} b^2-\cancel{p^2}=a^2-c^2-2cp-\cancel{p^2}$
-2cp=b^2+c^2-a^2

$p=-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)$

==>rumus proyeksi AC pada AB
___pada segitiga tumpul

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Dalil Stewart

Nah, sekarang baru kita akan membahas dalil Stewart. Kenapa kita harus terlebih dahulu tahu tentang proyeksi?? Karena dalil Stewart menggunakan dasar rumus tersebut... Let's check it out..!!! XDXDXD

ABC adalah segitiga sembarang. D adalah sembarang titik pada sisi AB. AD= c_1

dan DB =

.
Jika a, b, c, c_1

, dan

diketahui, maka panjang CD (l) dapat dihitung sebagai berikut.

Perhatikan $\triangle$ ACD,
$p=\frac{c_1^2+\overline{CD}^2-b^2}{2c_1}$
Perhatikan $\triangle$ BCD,
$p=-\left(\frac{c_2^2+\overline{CD}^2-a^2}{2c_2}\right)$

Gabungkan keduanya, maka:

$\frac{c_1^2+\overline{CD}^2-b^2}{2c_1}=-\left(\frac{c_2^2+\overline{CD}^2-a^2}{2c_2}\right)$

Kali silang, lalu bagi dengan 2, maka:

$c_2c_1^2+c_2\overline{CD}^2-c_2b^2=-c_1c_2^2-c_1\overline{CD}^2+c_1a^2$

$(c_1+c_2)\overline{CD}^2=c_1a^2+c_2b^2-c_1c_2^2-c_1^2c_2$

$\overline{CD}^2.(c_1+c_2)=c_1a^2+c_2b^2-c_1c_2(c_1+c_2)$

Ingat bahwa c_1+c_2=c

, maka:

$\overline{CD}^2.c=c_1a^2+c_2b^2-c_1c_2c$

Rumus di atas itulah yang sering dikenal debagai dalil Stewart.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Contoh Soal 2:

Jika AB = 10 cm, CB = 12 cm, AC = 6 cm, dan DB = 7 cm, maka berapakah panjang CD?

Jawab:
$AB\overline{CD}^2=AD.BC^2+BD.AC^2-AD.BD.AB$
$10.\overline{CD}^2=3.12^2+7.6^2-3.7.10$
$10.\overline{CD}^2=474$
$\overline{CD}=\sqrt{47,4}$
$\overline{CD}=\text{6,88}$ _________==> menggunakan kalkulator.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Selanjutnya, dalil Stewart sangat terpakai terutama untuk menghitung panjang garis-garis istimewa pada segitiga. Silakan cek bagian "Garis-Garis Istimewa pada Segitiga", untuk melihat sambungan/lanjutan materi ini. ^^

Thank you for your NICE attention..

EsaWH BLOG

Halaman

28 November 2013

MATERI AJAR MATEMATIKA XII IPA BAB INTEGRAL

04 Mei 2013

Rumus Lengkap Trigonometri

16 Maret 2013

Limit Matematika

18 Februari 2013

Nicolaus Copernicus

23 Oktober 2012

Cara Menghitung Cepat Akar Kuadrat dan Akar Pangkat Tiga

27 September 2012

Binonium Newton

Combinasi

Permutasi

Notasi Faktorial

17 Mei 2012

Konsep Tinggi untuk Dimensi Tiga

Rumus SIN , COS , TAN untuk sudut Ganda

Trigonometri dasar 1

Jarak Titik ke Garis

10 Mei 2012

Melukis Titik Tembus Garis ke Bidang

20 April 2012

Download Cabri 3D

08 April 2012

Mengenal Magic Square

Mengisi Magic Square

Magic Square yang Konsentrik

Dalil Stewart

Pola-pola Hereditas

Label

Blog Archive

Vinculos patrocinados